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2017年12月10日 (日)

転がっている球はいつ止まる?

転がっている球は止まらない?

「ビリヤードで、転がっている球はいつ止まるのか?」以前から考えていました。最初に考えたのは以下のようなものです。しかし、たぶん、これは間違っていると思います。

\(\omega\)
\(v\)
\(\mu mg\)

台を転がる球の運動は、次の式で表されます。

\[ \begin{align} m\dot{v} &= \mu mg \tag{1-1}\\ I\dot{\omega} &= -\mu mgr \tag{1-2} \end{align} \]
 \(m\) :球の質量  \(v\) :球の速度  \(\mu\) :摩擦係数
 \(g\) :重力加速度 \(I\) :慣性モーメント(\(=2/5\cdot mr^2\))
 \(\omega\) :球の角速度 \(r\) :球の半径

摩擦係数 \(\mu\) は、球の進行方向に摩擦が働くときに正としています。したがって (1-1), (1-2) のような符号になっています。図では摩擦が右向きに描かれており (1-1) は一見、加速しているように見えますが、 \(\mu\) が負のとき摩擦は左向きに働くことになります。また、右向きに摩擦が働くと回転は減少します。

(1-2) は慣性モーメントに \(2/5\cdot mr^2\) を代入すると次の (1-2') になります。

\[ \frac{2}{5}r\dot{\omega} = -\mu g \tag{1-2'} \]

球の転がりに滑りが無い時は、\(v = r\omega\) が成り立ちます。そこで、 \(v - r\omega\) を計算します。まず (1-1), (1-2') より、

\[ \dot{v} - r\dot{\omega} = \frac{7}{2}\mu g \tag{1-3} \]

これを時間で積分すると (1-4) になります。

\[ v - r\omega = \frac{7}{2}\mu gt \tag{1-4} \]

ただし、\(t = 0\) で \(v - r\omega = 0\) としました(つまり、初期条件として、球の転がりに滑りは無いとした)。

(1-4) で、\(\mu > 0\) とすると、\(v > r\omega\) となります。即ち、球の速度に比べて、回転は遅くなります。その場合、摩擦は球の進行の逆方向に働きます。これは \(\mu < 0\) を意味します。つまり、初期状態で \(\mu > 0\) でも、瞬間的に \(\mu < 0\) に変わります。

(1-4) で \(\mu < 0\) とすると、\(v < r\omega\) となります。即ち、球の速度に比べて、(前方)回転は速くなります。その場合、摩擦は進行方向に働きます。これは \(\mu > 0\) を意味します。つまり、初期状態で \(\mu < 0\) でも、瞬間的に \(\mu > 0\) に変わります。

このように、転がりに滑りが無い球は、 (1-4) の \(\mu\) を確定出来ず、計算を実行出来ません。唯一 \(\mu = 0\) の時だけ (1-4) は計算可能ですが、これは摩擦が無いことを意味し、球は永久に転がり続けるという、つまらない解になります(私の知りたいのは、球はどのくらい転がった後に止まるのかということです)。

これなら止まります

上記のおかしな結果は (1-1) が原因ではないかと思っています。 (1-1) は、移動する物体が直方体のような転がらないものの場合には成り立ちますが、球の場合は成り立たないのかも知れません。

そこで (1-1) を仮定しないで計算を進めることにします。 (1-2') より、

\[ r\dot{\omega} = -\frac{5}{2}\mu g \tag{2-1} \]

が得られます。球の転がりに滑りが無い(\(v = r\omega\))とすると (2-1) は

\[ \dot{v} = -\frac{5}{2}\mu g \tag{2-2} \]

となります。これを積分して、転がっている球が停止するまでの時間が分かります。

ある書籍での解法

「ビリヤードの解析とシミュレーター」という書籍には (2-2) と異なる結果が載っていました。それは次のようなものです。

その書籍では、球に作用する力を、併進速度を減少させる力 \(F_1\) と回転速度を減少させる力 \(F_2\) に分けて扱い、その合計が摩擦力 \(\mu mg\) になるとしています。

\[ F_1 + F_2 = \mu mg \tag{3-1} \]

\(F_1\), \(F_2\) は次の方程式を満たします(\(v = r\omega\) を仮定)。

\[ \begin{align} F_1 &= -m\dot{v}\\ F_2 &= -\frac{I}{r}\dot{\omega}\\ &= -\frac{2m}{5}\dot{v} \end{align} \]

\(F_1\) と \(F_2\) の比を取ると、

\[ \frac{F_1}{F_2} = \frac{5}{2} \tag{3-2} \]

となります。これと (3-1) より、次の (3-3), (3-4) が得られます。

\[ \begin{align} F_1 = \frac{5}{7}\mu mg \tag{3-3}\\ F_2 = \frac{2}{7}\mu mg \tag{3-4} \end{align} \]

即ち、併進の方程式は

\[ m\dot{v} = -\frac{5}{7}\mu mg \tag{3-5} \]

となり、これを積分して、転がっている球が停止するまでの時間が分かります。

私には (3-1) が納得出来ないので (3-5) が正しいか疑問ですが、 (2-2) が正しいと言い切る自信も有りません。

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