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2017年9月17日 (日)

光に質量を与えたい -3-

超伝導体内で光が質量を獲得することについて、あれこれ検索していたところ
Anderson-Higgs-Kibble 機構の検証と超伝導 Interlayer Coupling 機構の解明
が見つかり、たいへん参考になりました。上記文献は

超伝導現象がゲ-ジ場の対称性が自発的に破れることによって発現し、それに伴ってゴ-ルドスト-ンモ-ド (Goldstone mode) が発生するが、これを実験的に観測しようとする
ことについての報告書ですが、研究の背景と動機について書かれた部分に、光が質量を獲得する仕組みが解説されています。それを参考に質量の獲得についてまとめてみます。

ラグランジアンから始めるのが理論的には美しい(と思う)のですが、ラグランジアンというものは訳が分からず、いきなり定義するのは困難なものなので、エネルギー(ハミルトニアン)から始めることにします。

クーパー対 \(\psi(\boldsymbol{q})\) が電磁相互作用している系のハミルトニアン \(H\) (およびハミルトニアン密度 \(\mathscr{H}\))は次のようになります。 \[\begin{align} H =& \int \mathscr{H}d\boldsymbol{q}\\ \mathscr{H} =&\ \psi^\dagger(\boldsymbol{q})\frac{1}{2m}\left(\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{q})\right)^2\psi(\boldsymbol{q})\\ &+ V(\psi^\dagger(\boldsymbol{q})\psi(\boldsymbol{q})) + \frac{1}{8\pi}(\boldsymbol{E}^2+\boldsymbol{B}^2) \tag{1} \end{align}\] 第1項から判るように、クーパー対は非相対論的に扱っています。超伝導体内部では静電場は存在しないので \[\begin{align} A_0 &= 0\\ \boldsymbol{E} &= -\frac{1}{c}\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t} \tag{2} \end{align}\] と取ることが出来ます。また、相互作用項 \(V(\psi^\dagger(\boldsymbol{q})\psi(\boldsymbol{q}))\) は今の問題には関与しないので省略できます。

クーパー対は基底状態からの励起として南部・ゴールドストーンモードの励起が有るとして、 \[ \psi(\boldsymbol{q}) = \sqrt{n_0}e^{i\theta(\boldsymbol{q})} \tag{3} \] と置くとハミルトニアン密度は \[ \mathscr{H} = \frac{\hbar^2 n_0}{2m}\left(\operatorname{grad}\theta-\frac{e}{c\hbar}\boldsymbol{A}\right)^2 + \frac{1}{8\pi}(\boldsymbol{E}^2+\boldsymbol{B}^2) \] となります。 \(\boldsymbol{B} = \operatorname{rot}\boldsymbol{A}\), \(\operatorname{rot}\operatorname{grad}\theta = 0\) なので、 \(\operatorname{grad}\theta - (e/c\hbar)\boldsymbol{A} \longrightarrow \boldsymbol{A}'\) と置き換えてもハミルトニアン密度は変わりません。その \(\boldsymbol{A}'\) を改めて \(\boldsymbol{A}\) と置くとハミルトニアン密度は \[ \mathscr{H} = \frac{n_0e^2}{2mc^2}\boldsymbol{A}^2 + \frac{1}{8\pi}(\boldsymbol{E}^2 + \boldsymbol{B}^2) \tag{4} \] となります。

以下、簡単のため微分を次のように表記することにします。 \[ A_{\mu,\nu} \equiv \frac{\partial A_\mu}{\partial x_\nu} \] また、添字が上か下かということについては区別しないことにします。

さて、このハミルトニアン密度からラグランジアン密度 \(\mathscr{L}\) を求めます。両者には \[ \mathscr{L} = \pi_i A_{i,0} - \mathscr{H} \tag{5} \] の関係が有ります。ここに \(\pi\) は運動量密度です。ハミルトン形式では運動量(密度)は先に決めておくものなのですが、式 (4) でどれが運動量密度なのかよく判りません。これでは式 (5) が計算できません。上記文献ではラグランジアン密度は \[ \mathscr{L} = -\frac{n_0e^2}{2mc^2}\boldsymbol{A}^2 + \frac{1}{8\pi}(\boldsymbol{E}^2 - \boldsymbol{B}^2) \tag{6} \] と記されているので、取り敢えず式 (6) から運動量密度を計算してみました(式 (2) を考慮)。 \[\begin{align} \pi_i &= \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial A_{i,0}}\\ &= \frac{1}{4\pi c^2}A_{i,0} \end{align}\] これを使って式 (5) を計算すると式 (6) になることは確認できました。そこで、ラグランジュ方程式 \[ \frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial A_{i,j}} - \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial A_i} = 0 \] を計算すると(\(\boldsymbol{B}=\operatorname{rot}\boldsymbol{A}\) を考慮) \[ \left(\Box + \frac{4\pi ne^2}{mc^2}\right)\boldsymbol{A} = 0 \tag{7} \] が得られます(\(\Box\) の符号は (+,---))。この式は光 \(\boldsymbol{A}\) が質量 \(4\pi ne^2/(mc^2)\) を持つことを表しています。なお、式 (7) の算出に当たり、クーロン・ゲージ \(\operatorname{div}\boldsymbol{A}=0\) を用いました。

今回の過程を見ると、クーパー対 \(\psi(\boldsymbol{q})\) を式 (3) と置いたことで式 (6) の第1項が得られ、それが式 (7) の質量項になっていることが解ります。光の質量獲得のカラクリが少し理解できた気になりました。

ところで、電磁気というやつは単位系に幾つか流儀が有って、その確認に手間取りました。電磁気の単位系について便利なページが有ったのでリンクを張っておきます。
電磁気学の種々の単位系

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