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2017年2月19日 (日)

光に質量を与えたい -2-

超伝導体内で光が質量を獲得する仕組みを知りたくて、インターネット上の資料を幾つか当たってみたのですが、未だ納得できるレベルに至っていません。取り敢えず、解った所をまとめておきます。

光の質量の獲得は秩序変数 \(\Delta\) に対する現象論(ギンツブルグ・ランダウ理論)として記述できます。秩序変数とは相転移を特徴付ける量で、考察の対象に応じて選択されます(秩序変数の超伝導相転移を参照)。この秩序変数を用いて、電磁場が無い時のラグランジアン密度は臨界点近傍で \[ \mathscr{L}=\Delta^*i\partial_t\Delta-\frac{1}{2m}\nabla\Delta^*\cdot\nabla\Delta +b|\Delta|^2+c|\Delta|^4 \tag{1} \] と表されます。ここに \(m\) はクーパー対の質量です。

(1) 式の微分を次のような共変微分に置き換えることで電磁場を導入します。 \[ \begin{eqnarray} \nabla \rightarrow \boldsymbol{D} = \nabla - i\tilde{e}\boldsymbol{A} \tag{2}\\ \partial_t \rightarrow D_t = \partial_t - i\tilde{e}\phi \tag{3} \end{eqnarray} \] すなわち、ラグランジアン密度は (4) 式になります。 \[ \begin{align} \mathscr{L} =& \Delta^*iD_t\Delta - \frac{1}{2m}\boldsymbol{D}\Delta^*\cdot\boldsymbol{D}\Delta\\ & + b|\Delta|^2 + c|\Delta|^4 + \mathscr{L}_\mathrm{em} \tag{4} \end{align} \] ここに \(\mathscr{L}_\mathrm{em}\) は電磁場のラグランジアン密度です。

\(\Delta = |\Delta|e^{i\theta}\) とおき、簡単のため \(|\Delta|\) が時間依存しないとします。そして \[ \begin{eqnarray} \tilde{\boldsymbol{A}} = \boldsymbol{A} - \frac{\nabla\theta}{\tilde{e}} \tag{5}\\ \tilde{\phi} = \phi - \frac{\partial_t\theta}{\tilde{e}} \tag{6} \end{eqnarray} \] を用いると、ラグランジアン密度は \[ \mathscr{L} = \tilde{e}|\Delta|^2\tilde{\phi} - \frac{\tilde{e}^2|\Delta|^2}{2m}\tilde{\boldsymbol{A}}^2 + \mathscr{L}_\mathrm{em} \tag{7} \] となります。このラグランジアン密度より \(\tilde{\boldsymbol{A}}\) の運動方程式は、 \(M=(\tilde{e}^2|\Delta|^2/(2m))^{1/2}\) とおいて、 \[ (\Box + M^2)\tilde{\boldsymbol{A}} = 0 \tag{8} \] となります。ただし、ローレンツゲージ \(\partial_\mu\tilde{A}^\mu = 0\) を仮定しました。 (8) 式は光子 \(\tilde{A}\) が質量 \(M\) を持っていることを表しています。

(1) 式から出発して光子が質量を獲得することが解った訳ですが、超伝導体のラグランジアン密度が (1) 式になることが理解できていません。 BCS の平均場理論によるとハミルトニアン \(H_\mathrm{mf}\) は \[ \begin{align} H_\mathrm{mf} =& -\mu c_i^\dagger c_i + c_i^\dagger t_{ij}c_j\\ & + \frac{1}{2}\langle c_i^\dagger c_j^\dagger\rangle V_{ijkl}c_k c_l + \frac{1}{2}c_i^\dagger c_j^\dagger V_{ijkl}\langle c_k c_l\rangle\\ & - \frac{1}{2}\langle c_i^\dagger c_j^\dagger\rangle V_{ijkl}\langle c_k c_l\rangle \tag{9} \end{align} \] で、 \(\Delta_{ij} = V_{ijkl}\langle c_k c_l\rangle\) が秩序変数になるのですが、これからラグランジアン密度 (1) 式の導き方が判りません。一般的にラグランジアン \(L\) とハミルトニアン \(H\) の間には \[ L = p\dot{q} - H \tag{10} \] の関係がありますが、これに (9) 式を適用するにはどうしたら良いのでしょうか。 (1) 式の質量 \(m\) は (9) 式ではどこに隠れているのでしょうか。

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