2018年5月 5日 (土)

ある漸化式の一般項

YouTube で数学の大学入試問題を解説している動画が幾つも有り、そのうちの1つで扱っている問題に興味を持ったので、それについて書きます。動画は次の所に有ります。

YouTube の動画:横浜市立(医)漸化式

問題は、次の漸化式の一般項を求めよというものです。

\[ a_{n+2} - 5a_{n+1} + 6a_n - 6n = 0 \tag{1}\\ a_1 = a_2 = 1 \]

おそらく、動画でやっている方法が普通の解法だと思うのですが、ここでは、行列を用いてこの問題を解いてみることにします。

式 (1) において、 \(6n\) が無ければ、次の式 (2) で行列のn乗を計算すれば良いのですが、 \(6n\) が有るのでそう単純ではありません。一工夫必要になります。

\[ \begin{pmatrix} a_{n+2}\\ a_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -6\\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} a_2\\ a_1 \end{pmatrix} \tag{2} \]

式 (1) を行列で表すと式 (3) になります。

\[ \begin{pmatrix} a_{n+2}\\ a_{n+1}\\ b_{n+1}\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -6 & 6 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} a_2\\ a_1\\ b_1\\ 1 \end{pmatrix} \tag{3} \]

この行列の右下部分

\[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\]

が工夫した箇所です。この部分は

\[ \begin{pmatrix} n+1\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix} \]

のように、特定の要素を 1 大きくする働きが有ります。したがって、初期値を適当に選べば、その要素は項番号と同じものになります。これと式 (3) の第1行3列の \(6\) とで \(6n\) の働きをさせることが出来ます。

さて、式 (3) の行列を \(A\) と置きます。 \(A\) のn乗を計算するために、 \(A\) を式 (4) のように分解します。

\[ A = PJP^{-1} \tag{4} \]

\(J\) は対角行列・・・にしたいところなのですが、今回の \(A\) は対角化出来ないのが悩ましいところです。とりあえず、なるべく対角行列に近いものに変形します( Jordan 標準形)。 \(A\) の特性方程式

\[ \det(x - A) = (x - 3)(x - 2)(x - 1)^2 = 0 \]

より、固有値は \(x = 3, 2, 1\) となります。これらの固有値に対応するベクトル \(\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \boldsymbol{p}_3, \boldsymbol{p}_4\) を並べると \(P\) が求まり、式 (5) になります(この辺りの計算が面倒です)。固有値 \(1\) は重複しているので、それに対応するベクトル(独立なもの)も2つ並べています。

\[ P = (\boldsymbol{p}_1 \boldsymbol{p}_2 \boldsymbol{p}_3 \boldsymbol{p}_4) = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 6 & 18\\ 1 & 1 & 6 & 12\\ 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \tag{5} \]

この時 \(J\) は式 (6) になります。

\[ J = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \tag{6} \]

以上より \(A^n\) が求まります。

\[\begin{align} A^n &= PJ^nP^{-1}\\ &= P \begin{pmatrix} 3^n & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2^n & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & n\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} P^{-1} \end{align} \tag{7} \]

ここに \(P^{-1}\) は式 (8) となっています。

\[ P^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 4 & -8 & 12 & 6\\ -4 & 12 & -24 & -24\\ 0 & 0 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \tag{8} \]

そして、式 (3) で \(a_2 = a_1 = 1, b_1 = 1\) とおいて計算すると一般項は式 (9) となります。ただし、式 (9) で求まるのは \(a_{n+2}\) なので \(a_n\) に書き換えた方が良いかも知れません。

\[ a_{n+2} = \frac{1}{2}(7\cdot 3^{n+1} - 20\cdot 2^{n+1} + 6n + 21) \tag{9} \]

以上の方法は、連立方程式を解いたり、逆行列を求めたりと手間がかかるので、入試問題の解法としては適さないでしょう。その点で YouTube で示された方法が良いと思います。そもそも、ここで行った行列に関する操作は、高校の範囲を越えていますし。しかし、遷移行列という単純なアイデアで解いて行くところは気に入っています。

2018年2月17日 (土)

ドレスト光子の本買いました

ドレスト光子についての本「ドレスト光子」 (ISBN978-4-254-21040-8) を買いました。「ドレスト光子」で検索すると、種々の書籍通販サイトの当該書籍ページが幾つもヒットします。極め付けは当該書籍の閲覧ページです。
「ドレスト光子」の閲覧
ただし、ここで見れるのは第2章のみです。これを見て、面白そうだったので購入しました(印刷の普通の本)。

2章、4章そして付録Aがドレスト光子の質量獲得を理解するための参考になりそうなので、そこを重点的に読んでいます。計算は丁寧に説明されています。丁寧過ぎて、木を見て森を見ずという感は有ります--読む側の能力の問題なのですが。この本を読む目的は、ドレスト光子の質量獲得の理解ですが、そこに到達するには暫く掛かりそうです。取り敢えず、気付いたことを書いてみます。

ドレスト光子の意味

「ドレスト光子」は dressed phton 即ち、ドレスを纏った光子のことです。では、ドレスを纏った光子とはどういう意味でしょうか。それは、以下のようになっています。

ナノ寸法領域での光と電子・正孔のハミルトニアンは式 (1) になります。

\[\begin{align} \hat{H} = &\sum_{\boldsymbol{k}\lambda}\hbar\omega_{\boldsymbol{k}}\hat{a}^\dagger_{\boldsymbol{k}\lambda}\hat{a}_{\boldsymbol{k}\lambda}\\ &+ \sum_{\alpha\gt F,\beta\lt F}(E_\alpha - E_\beta)\hat{b}^\dagger_{\alpha\beta}\hat{b}_{\alpha\beta} + \hat{H}_\mathrm{int} \tag{1} \end{align}\]

ここに \(\hat{a}^\dagger_{\boldsymbol{k}\lambda}\) (\(\hat{a}_{\boldsymbol{k}\lambda}\)) は光子の生成(消滅)演算子、 \(\hat{b}^\dagger_{\alpha\beta}\) (\(\hat{b}_{\alpha\beta}\)) は電子・正孔対の生成(消滅)演算子です。 \(\alpha, \beta\) は電子・正孔対のエネルギー準位、 \(F\) はフェルミ準位です。 \(\hat{H}_\mathrm{int}\) は光子と電子・正孔対の相互作用です。さまざまな状態の光子や電子・正孔対について和を取っていることが、ナノ寸法領域の特徴(だそう)です。

式 (1) をあれこれ変形して行くと、式 (2) のハミルトニアンが得られます。

\[\begin{align} \tilde{H} &= \hat{U}^{-1}\hat{H}\hat{U}\\ &= \sum_{\boldsymbol{k}\lambda}\sum_{\alpha\gt F,\beta\lt F}\left[ \hbar\omega'_\boldsymbol{k}\tilde{a}^\dagger_{\boldsymbol{k}\lambda}\tilde{a}_{\boldsymbol{k}\lambda} + (E'_\alpha - E'_\beta)\tilde{b}^\dagger_{\alpha\beta}\tilde{b}_{\alpha\beta} \right] \tag{2} \end{align}\]

式 (2) では、見かけ上相互作用が無くなっています。 \(a\) や \(b\) の上に付いているのが \(\hat{}\) から \(\tilde{}\) に変わっているに注意して下さい。その \(\tilde{a}\), \(\tilde{b}\) は式 (3), (4) になっています。

\[\begin{align} \tilde{a}_{\boldsymbol{k}\lambda} &= \hat{a}_{\boldsymbol{k}\lambda} - iN_\boldsymbol{k}\sum_{\alpha\gt F,\beta\lt F}\left( \rho^*_{\alpha\beta\lambda}(\boldsymbol{k})\hat{b}_{\alpha\beta} + \rho^*_{\beta\alpha\lambda}(\boldsymbol{k})\hat{b}^\dagger_{\alpha\beta} \right) \tag{3}\\ \tilde{b}_{\alpha\beta} &= \hat{b}_{\alpha\beta} - i\sum_{\boldsymbol{k}\lambda}\left( \rho_{\alpha\beta\lambda}(\boldsymbol{k})\hat{a}_{\boldsymbol{k}\lambda} + \rho^*_{\beta\alpha\lambda}(\boldsymbol{k})\hat{a}^\dagger_{\boldsymbol{k}\lambda} \tag{4} \right) \end{align}\]

式 (3) は右辺第1項の光子が第2項の電子・正孔対の衣を纏っていることを表しています。そして、 \(\boldsymbol{k}\), \(\lambda\) について和を取った \(\sum_{\boldsymbol{k}\lambda}\tilde{a}_{\boldsymbol{k}\lambda}\), \(\sum_{\boldsymbol{k}\lambda}\tilde{a}^\dagger_{\boldsymbol{k}\lambda}\) によって表される光子がドレスト光子です。また、式 (4) は光子と電子・正孔対が入れ替わってほぼ同じ形になっています。即ち、電子・正孔対も光子の衣を纏っていることになります。

グラスファイバー先端のモデル化

グラスファイバー先端のドレスト光子はどのように扱うのかと思っていたら、なんと、単純に原子を1次元格子振動子として計算を進めていました。式 (5) がその1次元格子振動子のハミルトニアンです。

\[ H = \sum_{i=1}^N\frac{\boldsymbol{p}_i^2}{2m_i} + \sum_{i=1}^{N-1}\frac{k}{2}(\boldsymbol{x}_{i+1} - \boldsymbol{x}_i)^2 + \sum_{i=1,N}\frac{k}{2}\boldsymbol{x}_i^2 \tag{5} \]

ここで \(\boldsymbol{x}_i\), \(\boldsymbol{p}_i\), \(m_i\) は \(i\) 番目の原子の(平衡位置からの)変位、運動量、質量、 \(k\) はバネ定数です。

式 (5) にドレスト光子のハミルトニアンやドレスト光子とフォノンとの相互作用などを付加して考察対象となるハミルトニアンが得られるのですが、今回は割愛します。

ところで、私が興味あるのは、 \(A_\mu\) を電磁ポテンシャルとしたとき、式 (6) を導くことです。そのためにはラグランジアン密度を決定する必要が有るのですが、この本からそれを読み解いて行きたいと思っています。

\[ (\Box + m^2)A_\mu = 0 \tag{6} \]

2018年1月14日 (日)

ドレスト光子

光に質量を与えたい -3- で超伝導体内で光が質量を獲得するカラクリが多少分かったわけですが、そもそもの発端は近接場光が質量を獲得することを理解したいということでした。その近接場光に関して新たに資料を見つけました。それが次の3点です(PDF ファイル)。

近接場光による光技術の質的変革
ドレスト光子によるバルク結晶シリコン発光素子
大津教授の講演資料

この中に出て来るキーワードで次のものが目に入りました。

  • ドレスト光子
  • 物質中の励起と光子が結合した場

ドレスト光子とは物質励起の衣をまとった光子という意味です。光子と電子とが結合した状態を表す準粒子がドレスト光子であるとの説明も有りました。

「物質中の励起と光子が結合した場」は、真空が相転移してゲージ場が質量を獲得するということを連想させます。たぶん、近接場光(ドレスト光子)を場の理論として説明するということは既に出来ているのでしょう。近接場光に対して持っていた疑問が、いよいよ解消できるかも知れません。

2017年12月10日 (日)

転がっている球はいつ止まる?

転がっている球は止まらない?

「ビリヤードで、転がっている球はいつ止まるのか?」以前から考えていました。最初に考えたのは以下のようなものです。しかし、たぶん、これは間違っていると思います。

\(\omega\)
\(v\)
\(\mu mg\)

台を転がる球の運動は、次の式で表されます。

\[ \begin{align} m\dot{v} &= \mu mg \tag{1-1}\\ I\dot{\omega} &= -\mu mgr \tag{1-2} \end{align} \]
 \(m\) :球の質量  \(v\) :球の速度  \(\mu\) :摩擦係数
 \(g\) :重力加速度 \(I\) :慣性モーメント(\(=2/5\cdot mr^2\))
 \(\omega\) :球の角速度 \(r\) :球の半径

摩擦係数 \(\mu\) は、球の進行方向に摩擦が働くときに正としています。したがって (1-1), (1-2) のような符号になっています。図では摩擦が右向きに描かれており (1-1) は一見、加速しているように見えますが、 \(\mu\) が負のとき摩擦は左向きに働くことになります。また、右向きに摩擦が働くと回転は減少します。

(1-2) は慣性モーメントに \(2/5\cdot mr^2\) を代入すると次の (1-2') になります。

\[ \frac{2}{5}r\dot{\omega} = -\mu g \tag{1-2'} \]

球の転がりに滑りが無い時は、\(v = r\omega\) が成り立ちます。そこで、 \(v - r\omega\) を計算します。まず (1-1), (1-2') より、

\[ \dot{v} - r\dot{\omega} = \frac{7}{2}\mu g \tag{1-3} \]

これを時間で積分すると (1-4) になります。

\[ v - r\omega = \frac{7}{2}\mu gt \tag{1-4} \]

ただし、\(t = 0\) で \(v - r\omega = 0\) としました(つまり、初期条件として、球の転がりに滑りは無いとした)。

(1-4) で、\(\mu > 0\) とすると、\(v > r\omega\) となります。即ち、球の速度に比べて、回転は遅くなります。その場合、摩擦は球の進行の逆方向に働きます。これは \(\mu < 0\) を意味します。つまり、初期状態で \(\mu > 0\) でも、瞬間的に \(\mu < 0\) に変わります。

(1-4) で \(\mu < 0\) とすると、\(v < r\omega\) となります。即ち、球の速度に比べて、(前方)回転は速くなります。その場合、摩擦は進行方向に働きます。これは \(\mu > 0\) を意味します。つまり、初期状態で \(\mu < 0\) でも、瞬間的に \(\mu > 0\) に変わります。

このように、転がりに滑りが無い球は、 (1-4) の \(\mu\) を確定出来ず、計算を実行出来ません。唯一 \(\mu = 0\) の時だけ (1-4) は計算可能ですが、これは摩擦が無いことを意味し、球は永久に転がり続けるという、つまらない解になります(私の知りたいのは、球はどのくらい転がった後に止まるのかということです)。

これなら止まります

上記のおかしな結果は (1-1) が原因ではないかと思っています。 (1-1) は、移動する物体が直方体のような転がらないものの場合には成り立ちますが、球の場合は成り立たないのかも知れません。

そこで (1-1) を仮定しないで計算を進めることにします。 (1-2') より、

\[ r\dot{\omega} = -\frac{5}{2}\mu g \tag{2-1} \]

が得られます。球の転がりに滑りが無い(\(v = r\omega\))とすると (2-1) は

\[ \dot{v} = -\frac{5}{2}\mu g \tag{2-2} \]

となります。これを積分して、転がっている球が停止するまでの時間が分かります。

ある書籍での解法

「ビリヤードの解析とシミュレーター」という書籍には (2-2) と異なる結果が載っていました。それは次のようなものです。

その書籍では、球に作用する力を、併進速度を減少させる力 \(F_1\) と回転速度を減少させる力 \(F_2\) に分けて扱い、その合計が摩擦力 \(\mu mg\) になるとしています。

\[ F_1 + F_2 = \mu mg \tag{3-1} \]

\(F_1\), \(F_2\) は次の方程式を満たします(\(v = r\omega\) を仮定)。

\[ \begin{align} F_1 &= -m\dot{v}\\ F_2 &= -\frac{I}{r}\dot{\omega}\\ &= -\frac{2m}{5}\dot{v} \end{align} \]

\(F_1\) と \(F_2\) の比を取ると、

\[ \frac{F_1}{F_2} = \frac{5}{2} \tag{3-2} \]

となります。これと (3-1) より、次の (3-3), (3-4) が得られます。

\[ \begin{align} F_1 = \frac{5}{7}\mu mg \tag{3-3}\\ F_2 = \frac{2}{7}\mu mg \tag{3-4} \end{align} \]

即ち、併進の方程式は

\[ m\dot{v} = -\frac{5}{7}\mu mg \tag{3-5} \]

となり、これを積分して、転がっている球が停止するまでの時間が分かります。

私には (3-1) が納得出来ないので (3-5) が正しいか疑問ですが、 (2-2) が正しいと言い切る自信も有りません。

2017年11月23日 (木)

Chrome での Flash 版 FlatTable

Flash はジョブズの陰謀や脆弱性のため、インターネットから締め出されつつあります。 Chrome でも、表示の許可を確認するようになっています。それのみならず、 Flash ファイル(*.swf)にアクセスしてもダウンロードの許可を聞いてくるだけで、画面表示してくれません(HTML ファイル(*.html)へ埋め込んだ Flash は表示します)。もしかしたら、他のブラウザでも同様の現象が起きているかも知れませんが未確認です。

そこで、 Flash 版 FlatTable を表示する HTML ファイルを Chrome 用に用意しました。以下がそのページへのリンクです。 Chrome を使用している方はこれをご利用下さい。なお、 SVG 版は直接アクセスしても問題ありません。

FlatTable_P(Flash 版)
FlatTable_C(Flash 版)

これらのページは次のような簡単なものです(プール用の場合)。


<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
    <title>FlatTable_P</title>
    <link rel="shortcut icon" href="favicon.ico" />
    <style>
        html, body {height: 98%}
    </style>
</head>

<body>
    <object data="FlatTable_P.swf" width="100%" height="100%">
    </object>
</body>
</html>

上記コードで赤字部分が無いと object タグの height="100%" が有効になりません。また、 98% なのは、 100% ではスクロールバーが表示されるので、それを抑えるためです。

«Mathjax が サーバー変更してバージョン指定が煩わしい